No blogue «A Sexta Coluna», encontro a seguinte exposição do paradoxo de Zenão, atribuída a Jorge Luís Borges:
- "Aquiles, símbolo da rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de lentidão. Aquiles corre dez vezes mais depressa que a tartaruga e dá-lhe dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles o milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre sem a alcançar."
O autor do blogue acrescenta ainda a seguinte apreciação:
- «A refutação ensaiada por Aristóteles é por muitos considerada frágil, e só a quântica, alguns anos mais tarde (séc. XX), pôs um fim lógico à perpétua corrida entre Aquiles e a tartaruga.»
Ora, o raciocínio está errado, e o aparente «paradoxo» pode ser desmascarado recorrendo à cinemática que se ensina no 10º ano. Então, é assim...
###- Seja x1(t) a posição de Aquiles e x2(t) a posição da tartaruga.
- Seja V a velocidade do simpático anfíbio, e portanto 10V a do herói grego (de acordo com o enunciado...).
- Então, as equações do movimento serão: x1(t)=10Vt [SI] e x2(t)=10+Vt [SI].
- Logo, igualando as duas equações do movimento determinamos que Aquiles apanha a tartaruga ao fim de exactamente t=10/(9V) segundos. (Basta substituir o valor da velocidade da tartaruga para obter um resultado numérico; se for V=0.1 m/s, temos t=11,1 segundos, por exemplo).
A razão para o Aristóteles não ter dado com isto penso que terá a ver com a ausência da metáfora adequada: as dizímas infinitas. Aliás, o que Borges descreve é o processo de obtenção de uma dízima infinita que resolve o problema que expõe. (Quanto à Física Quântica, não vejo qual seja a relação com o problema...)
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9 comentários :
noutras palavras, o somatório de um número infinito de termos pode resultar num resultado finito! 8-)
mas como é possível que haja alguém que não sabe isso? essa gente na sexta coluna tem sérios problemas...
O paradoxo de Zenao sempre me pareceu uma bela porcaria de paradoxo e só sou capaz de imaginar gregos a perder tanto tempo com a treta. Sem cinematica (e muito sem quantica) qualquer um vê que se trata de um truque, que joga com divir os instantes que antecedem o momento em que aquiles alcança a tartaruga em infinitas partes. Estou absolutamente certo de que Zenao sabia muito bem que estava usando este truque como qualquer bom ilusionista. Para paradoxo e truque sempre me pareceu pobre.
Estive para explicar somando a série, mas assim pareceu-me mais simples... ;)
É verdade que é uma bela treta de paradoxo...
Se o paradoxo serve para alguma coisa é para que se reconheça precisamente isso, que o tempo como o espaço são infinitamente divisiveis, admitindo que os gregos antes do paradoxo de zenao não o soubessem.
estou chocada com tão atrevida manifestação de ignorância!!!!!
Curioso: também sempre achei isso mesmo desse paradoxo (que é uma treta) :)
As afinidades entre os autores deste blogue extravasam as fronteiras da política :)
Não ma parece tão simples assim. O que se aplica ao espaço aplica-se igualmente ao tempo. Podemos calcular o instante em que Aquiles alcança a pobre da tartaruga, ou, se preferem, ao fim de quantos metros. O que o paradoxo pergunta é: como é que Aquiles chega ao metro tal ou ao instante tantos. Russell, que não pode ser acusado de ignorar a noção de infinitesimal (e já conhecia a teoria da relatividade), considerava que o paradoxo não está resolvido. Não me costa que, depois de 1920 (+/-) a questão tenha sofrido grandes avanços.
Até sempre.
Sobre o paradoxo de Zenão de Aquiles e a tartaruga, é verdade que este problema esteve insolúvel durante 5000 anos.
Foi graças ao matemático francês Gauchy sec. 18, que ao introduzir a noção de limites na matemática, conseguiu de uma vez por todas solucionar o problema.
1º o leitor terá que ssber o que é igual o somatório de n termos de uma progressão geométrica.
2º após a substituição dos valores correspondentes nessa equação, terá que necessariamente determinar o limite dessa sucessão geométrica quando n tende para mais infinito. Assim obterá o resultado pretendido. obrigado até mais.
Anónimo
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